Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）欲證AE⊥平面BCE，由題設條件知可先證BF⊥AE，CB⊥AE，再由線面垂直的判定定理得出線面垂直即可；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的正弦值，需要先作角，連接BD交AC交于G，連接FG，可證得∠BGF是二面B-AC-E的平面角，在△BFG中求解即可；
（Ⅲ）由題設，利用由V_D-ACE=V_E-ACD，求點D到平面ACE的距離．

解答： 解：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE
∵二面角D-AB-E為直二面角．且CB⊥AB．
∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE
∵BF∩CB=B
∴AE⊥平面BCE（4分）
（Ⅱ）連接BD交AC交于G，連接FG
∵正方形ABCD邊長為2．∴BG⊥AC，BG=

2

∵BF⊥平面ACE．由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC．
∴∠BGF是二面B-AC-E的平面角（7分）
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC
又∵AE=EB，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=

2

又∵Rt△BCE中，EC=

6

∴BF=

BC×BE

EC

=

2 3

3

∴Rt△BFG中sin∠BGF=

BF

FG

=

6

3

∴二面角B-AC-E的正弦值等于

6

3

（10分）
（Ⅲ）過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1
∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD
設D到平面ACE的距離為h，由V_D-ACE=V_E-ACD，可得h=

1 2 AD•DC•EO

1 2 AE•EC

=

2 3

3

   …（13分）
∴點D到平面ACE的距離為

2 3

3

．        …（14分）

點評：本題考查了用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及用二面角的定義求二面角，求棱錐的體積，本題涉及到的知識與技巧較多，綜合性較強，在解題過程中要注意體會問題的轉化方向，及解決方法．