Question

19．已知實(shí)數(shù)a＞0，命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解；命題q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立．
（1）寫出?q；　　　　　　　　
（2）若p且q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先，命題p為特稱命題，其否定為全稱命題，直接結(jié)合含有一個(gè)量詞的否定進(jìn)行處理即可；
（2）先判斷所給命題的真假，然后，根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題的真假判斷方法進(jìn)行求解．

解答 解：（1）命題q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立，
∴?q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1＜0成立
（2）∵p且q為真，
∴p和q都為真，
∴命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解為真命題，
則a∈（0，1），①
∵命題q：?x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，x²+ax-1≥0恒成立，
∴a≥-x+$\frac{1}{x}$，
設(shè)f（x）≥-x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
∴f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
由①②，可得a的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了簡(jiǎn)單命題的真假判斷，復(fù)合命題的真值表應(yīng)用，注意“且”的含義，理解全稱命題和特稱命題的否定方式和方法，屬于中檔題．