Question

10．直線y=kx-2交拋物線y²=x于A、B兩點(diǎn)，（1）求k的取值范圍；（2）若AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程組有兩個(gè)不同的解，利用判別式大于0求k 的范圍．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則k≠0，△=1+8k＞0，解之k＞$-\frac{1}{8}$且k≠0；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，得ky²-y-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k≠0，且1+8k＞0，即k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0；
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=$\frac{1}{k}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，所以$\frac{1}{k}=4$，即k=$\frac{1}{4}$，$\sqrt{1+\frac{1}{16}}\sqrt{{4}^{2}+4×8}$=$\sqrt{51}$，
則|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{16}}\sqrt{{4}^{2}+4×8}$=$\sqrt{51}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．