Question

設(shè)圓C₁的方程為（x+1）²+（y-3m-3）²=4m²（m∈R，m≠0），直線l的方程為y=x+m+2．
（1）求C₁關(guān)于l對稱的圓C₂的方程；
（2）當(dāng)m變化時，求證：C₂的圓心在一條定直線上；
（3）求C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定,關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程

專題：直線與圓

分析：（1）圓C₁的圓心為C₁（-2，3m+2）設(shè)C₁關(guān)于直線l對稱點(diǎn)為C₂（a，b），利用垂直平分關(guān)系列出方程，求出對稱圓的圓心，即可求解對稱圓的方程．
（2）由

a=2m+1 b=m+1

，推出圓C₂的圓心在定直線x-2y+1=0上．
（3）設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，通過直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，推出

-4k-3=0 2(2k-1)(k+b-1)=0 (k+b-1)2=0

，求解可得所求結(jié)果．

解答：解：（1）圓C₁的圓心為C₁（-2，3m+2）設(shè)C₁關(guān)于直線l對稱點(diǎn)為C₂（a，b）
則

b-3m-3 a+1 =-1 3m+3+b 2 = a-1 2 +m+2

解得：

a=2m+1 b=m+1

∴圓C₂的方程為（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²
（2）由

a=2m+1 b=m+1

消去m得a-2b+1=0即圓C₂的圓心在定直線x-2y+1=0上．
（3）設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，則　

|k(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

=2|m|
即（-4k-3）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0
∵直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，所以有：

-4k-3=0 2(2k-1)(k+b-1)=0 (k+b-1)2=0

解之得：

k=- 3 4 b= 7 4

所以C₂所表示的一系列圓的公切線方程為：y=-

3

4

x+

7

4

點(diǎn)評：本題考查對稱圓的方程的求法，圓的公切線的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．