Question

16．在△ABC中，三邊a，b，c所對應(yīng)的角分別是A，B，C，已知a，b，c成等比數(shù)列．
（1）若$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求角B的值；
（2）若△ABC外接圓的面積為4π，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由切化弦、兩角和的正弦公式化簡式子，由等比中項的性質(zhì)、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B；
（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出B的范圍，由正弦定理和三角形的面積公式表示出△ABC面積，利用B的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出△ABC面積的范圍．

解答 解：（1）由題意得，
$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}=\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}=\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，（2分）
∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，○由正弦定理有sin²B=sinAsinC，（3分）
∵A+C=π-B，∴sin（A+C）=sinB，得$\frac{sinB}{{{{sin}^2}B}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，即$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（5分）
由b²=ac知，b不是最大邊，∴$B=\frac{π}{3}$．（6分）
（2）∵△ABC外接圓的面積為4π，∴△ABC的外接圓的半徑R=2，（7分）
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
又b²=ac，∴$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∵B為△ABC的內(nèi)角，∴$0＜B≤\frac{π}{3}$，（9分）
由正弦定理$\frac{sinB}=2R$，得b=4sinB，（10分）
∴△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}{b^2}sinB=8{sin^3}B$，（11分）
∵$0＜B≤\frac{π}{3}$，∴$0＜sinB≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴${S_{△ABC}}∈（0，3\sqrt{3}]$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理，切化弦、兩角和的正弦公式，正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)等，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．