Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系．曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.（{φ為參數(shù)}）$，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}（{ρ≥0}）$且C₁與C₂交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B為曲線C₁與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為曲線C₁上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AM與MB分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，求證：|OP|•|OQ|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線C₁的普通方程求出a，即可得到結(jié)果．
（Ⅱ）求出A的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)M（2cosφ，sinφ），P（x_P，0），Q（x_Q，0），利用k_AM=k_AP，k_BM=k_BQ，可得|OP|•|OQ|為定值4．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0）
可知它們的交點(diǎn)為$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$，代入曲線C₁的普通方程可求得a²=4
所以曲線的普通方程為 $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知曲線C₁為橢圓，不妨設(shè)A為橢圓C₁的上頂點(diǎn)，則A的坐標(biāo)為（0，1）
設(shè)M（2cosφ，sinφ），P（x_P，0），Q（x_Q，0）
因?yàn)橹本�AM與MB分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，所以k_AM=k_AP，k_BM=k_BQ，
由斜率計(jì)算公式得到${x_P}=\frac{2cosφ}{1-sinφ}，{x_Q}=\frac{2cosφ}{1+sinφ}$
所以|OP|•|OQ|=|x_P|•|x_Q|=4，可得|OP|•|OQ|為定值4…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．