Question

8．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c向量$\overrightarrow{m}$=（4，-1），$\overrightarrow{n}$=（cos²$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{7}{2}$
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b=c時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{7}{2}$，可求cosA，即可求出A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理，求得b=c=a，再根據(jù)三角形得面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（4，-1），$\overrightarrow{n}$=（cos²$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{7}{2}$，
∴4cos²$\frac{A}{2}$-cos2A=4×$\frac{1+cosA}{2}$-（2cos²A-1）=-2cos²A+2cosA+3=$\frac{7}{2}$，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，且b=c，a=$\sqrt{3}$，
∴b²=c²=a²，
∴a=b=c=$\sqrt{3}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積，余弦定理，三角形得面積公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是中檔題．