(2012•大連模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,對(duì)?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)0<x<y<e2且x≠e時(shí),試比較
y
x
1-lny
1-lnx
的大�。�
分析:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).f′(x)=a-
1
x
.通過(guò)考察f′(x)的正負(fù)值區(qū)間判斷單調(diào)區(qū)間,得出極值點(diǎn)情況.
(Ⅱ)a=1,f(x)≥bx-2恒成立,即(1-b)x>lnx-1,將b分離得出,b<1-
lnx-1
x
,令g(x)=1-
lnx-1
x
,只需b小于等于g(x)的最小值即可.利用導(dǎo)數(shù)求最小值.
(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)=1-
lnx-1
x
在(0,e2)上為減函數(shù),g(x)>g(y),1-
lnx-1
x
1-
lny-1
y
,整理得
1-lnx
x
1-lny
y
,考慮將1-lnx除到右邊,為此分1-lnx正負(fù)分類求解.
解答:解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).f′(x)=a-
1
x

(Ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,函數(shù) 在(0,+∞)單調(diào)遞減,
∴在(0,+∞)上沒(méi)有極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0得x>
1
a
,f′(x)<0得x<
1
a
.f′(x)=0得x=
1
a

∴在(0,
1
a
)上遞減,在(
1
a
,+∞)上遞增,即在x=
1
a
處有極小值.
∴當(dāng)a≤0時(shí)在(0,+∞)上沒(méi)有極值點(diǎn),
當(dāng)a>0時(shí),在(0,+∞)上有一個(gè)極值點(diǎn).(3分)
(Ⅱ)∵函數(shù)在x=
1
a
處取得極值,∴a=1,
f(x)=x-1-lnx,
∵f(x)≥bx-2,移項(xiàng)得(1-b)x>lnx-1,再將b分離得出,b<1-
lnx-1
x
,令g(x)=1-
lnx-1
x
,
則令g′(x)=
lnx-2
x2
,可知在(0,e2)上g′(x)<0,在(e2,+∞)上g′(x)>0,
∴g(x)在x=e2處取得極小值,也就是最小值.此時(shí)g(e2)=1-
1
e2
,
所以b≤1-
1
e2

(Ⅲ)由(Ⅱ)g(x)=1-
lnx-1
x
在(0,e2)上為減函數(shù).0<x<y<e2且x≠e時(shí),
有g(shù)(x)>g(y),1-
lnx-1
x
1-
lny-1
y
,整理得
1-lnx
x
1-lny
y

當(dāng)0<x<e時(shí),1-lnx>0,由①得,
y
x
1-lny
1-lnx

當(dāng)e<x<e2時(shí),1-lnx<0,由①得
y
x
1-lny
1-lnx
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,并利用單調(diào)性比較大�。疾榱朔诸愑懻摗�(gòu)造、推理計(jì)算能力.
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AB
+y
AD
+
PA
=
0
(x,y∈R),則當(dāng)點(diǎn)P在以A為圓心,
3
3
|
BD
|
為半徑的圓上時(shí),實(shí)數(shù)x,y應(yīng)滿足關(guān)系式為( �。�

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x
-
a
x2
)n
展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024,常數(shù)項(xiàng)為45,則實(shí)數(shù)a的值是
±1
±1

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