Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，-π＜φ＜π）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）在△ABC中，f（C+$\frac{π}{6}$）=-1且$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$＜0，求角C．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）利用（1）及f（C$+\frac{π}{6}$）=-1可得sin（2C$+\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合角的范圍可求C=$\frac{π}{4}$或$\frac{7π}{12}$，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求cosC＜0，從而可求C的值．

解答 解：（1）由圖可知函數(shù)的最大值是2，最小值是-2，
∴A=2，…（1分）
∵$\frac{3}{4}$T=$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$，
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，…（2分）
又∵f（x）過點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0），且根據(jù)圖象特征得：-2×$\frac{π}{6}$+φ=0+2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，…（4分）
而-π＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$．…（5分）
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．…（6分）
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（C$+\frac{π}{6}$）=2sin（2C$+\frac{2π}{3}$）=-1，…（7分）
∴sin（2C$+\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，…（9分）
因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{π}{4}$或$\frac{7π}{12}$，…（10分）
又∵$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=abcosC＜0，0＜C＜π，
∴cosC＜0，$\frac{π}{2}$＜C＜π，
∴C=$\frac{7π}{12}$．．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．