Question

設(shè)函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）見解析（2）>e22（3）a的取值范圍是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3

【解析】

試題分析：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）確定函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值，不等式，即可求得實數(shù)m的取值范圍；

（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，記g（x）=x-a+1-ln（1+x）2．求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性，為使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個實根，從而可建立不等式，由此可求實數(shù)a的取值范圍．

試題解析：依題意知，

又因為 1分

（1）令

或x>0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（－2，－1）和（0，+∞） 3分

令

的單調(diào)減區(qū)間（1，0）和（∞，2） 5分

（2）令（舍） 6分

8分

因此可得：f(x)<恒成立時，>e22 9分

（3）原題可轉(zhuǎn)化為方程=(1+x)－ln(1+x)2在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個相異實根 10分

11分

且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4 13分

所以在區(qū)間[0，2]上原方程恰有兩個相異的實根時,實數(shù)a的取值范圍是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3 14分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)與方程的綜合運用；3.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．