Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sin2x-cos2x+1}{2sinx}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的取值范圍；
（3）設(shè)α為銳角，且$tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分式的分母不能為0，即sinx≠0，可得函數(shù)f（x）的定義域．
（2）將函數(shù)化簡，利用三角函數(shù)的有界限求解f（x）的取值范圍；
（3）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式，求解f（α）的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{sin2x-cos2x+1}{2sinx}$．
（1）由sinx≠0得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}
（2）函數(shù)化簡得$f（x）=\frac{{2sinxcosx-（1-2{{sin}^2}x）+1}}{2sinx}=\frac{{2sinxcosx+2{{sin}^2}x}}{2sinx}=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+$$\frac{π}{4}）（x≠kπ，k∈Z）$．
又由于x=kπ，k∈Z時，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$的值為±1，
所以f（x）的取值范圍為：$[-\sqrt{2}，-1）∪（-1，1）∪（1，\sqrt{2}]$
（3）令$t=tan\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，得$tanα=\frac{2t}{{1-{t^2}}}=\frac{4}{3}$，
由α為銳角，得$sinα=\frac{4}{5}，cosα=\frac{3}{5}$，
∴$f（α）=sinα+cosα=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題