Question

14．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為P，過點P向x軸作垂線，垂足為H，若|PH|=$\frac{a}{2}$，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}-1}}{4}$
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{^{2}}=1$，從而c²=$\frac{5{a}^{2}^{2}-{a}^{4}}{4^{2}}$，由此能求出此橢圓的離心率．

解答 解：∵F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
以F₁F₂為直徑的圓與橢圓在第一象限的交點為P，過點P向x軸作垂線，垂足為H，若|PH|=$\frac{a}{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{{a}^{2}}{4}}{^{2}}=1$，解得x²=$\frac{4{a}^{2}^{2}-{a}^{4}}{4^{2}}$，
∴c²=$\frac{4{a}^{2}^{2}-{a}^{4}}{4^{2}}+\frac{{a}^{2}^{2}}{4^{2}}$=$\frac{5{a}^{2}^{2}-{a}^{4}}{4^{2}}$，
∴4c²（a²-c²）=5a²（a²-c²）-a⁴，
∴4a²c²-4c⁴=4a⁴-5a²c²，
∴4e²-4e⁴=4-5e²，
∴4e⁴-9e²+4=0，
∵0＜e＜1，∴${e}^{2}=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$，
∴e=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．