Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)F₂也為拋物線C₂：y²=8x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₂的直線l交拋物線C₂于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P（8，0）滿足|PA|=|PB|，求直線l的方程；
（Ⅱ）T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F₁作TF₁的垂線交橢圓C₁于M，N兩點(diǎn)，求$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線${C_2}：{y^2}=8x$得F₂（2，0），當(dāng)直線l斜率不存在，即l：x=2時，滿足題意．當(dāng)直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x-2）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB的中點(diǎn)$G（\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，\frac{4}{k}）$，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，k_PG•k=-1，解得k即可得出．
（Ⅱ）F₂（2，0），可得橢圓C₁的方程，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），則直線TF₁的斜率${k}_{T{F}_{1}}$=-m．當(dāng)m≠0時，直線MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直線MN的方程是x=my-2，
當(dāng)m=0時，上述方程．設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線${C_2}：{y^2}=8x$得F₂（2，0），
當(dāng)直線l斜率不存在，即l：x=2時，滿足題意．
當(dāng)直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x-2）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+8}}{k^2}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-4k=\frac{8}{k}$．
設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則$G（\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，\frac{4}{k}）$，
∵|PA|=|PB|，∴PG⊥l，k_PG•k=-1，
∴$\frac{{\frac{4}{k}-0}}{{\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}-8}}×k=-1$，解得$k=±\sqrt{2}$，則$y=±\sqrt{2}（x-2）$，
∴直線l的方程為$y=±\sqrt{2}（x-2）$或x=2．
（Ⅱ）∵F₂（2，0），∴${F_1}（-2，0），{b^2}=6-4=2，{C_1}：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，
設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），
則直線TF₁的斜率${k_{T{F_1}}}=\frac{m-0}{-3+2}=-m$，
當(dāng)m≠0時，直線MN的斜率${k_{MN}}=\frac{1}{m}$，直線MN的方程是x=my-2，
當(dāng)m=0時，直線MN的方程是x=-2，也符合x=my-2的形式．
∴直線MN的方程是x=my-2．
設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-2\end{array}\right.$，得（m²+3）y²-4my-2=0，
∴${y_3}+{y_4}=\frac{4m}{{{m^2}+3}}，{y_3}{y_4}=-\frac{2}{{{m^2}+3}}$，
$|{T{F_1}}|=\sqrt{{m^2}+1}$，$|{MN}|=\sqrt{{{（{x_3}-{x_4}）}^2}+{{（{y_3}-{y_4}）}^2}}$=$\sqrt{（{m^2}+1）[{{（{y_3}+{y_4}）}^2}-4{y_3}{y_4}]}=\frac{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}$，
∴$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{1}{24}×\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}=\sqrt{\frac{1}{24}（{m^2}+1+\frac{4}{{{m^2}+1}}+4）}≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)${m^2}+1=\frac{4}{{{m^2}+1}}$，即m=±1時，等號成立，此時$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{MN}|}}$取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式及其基本不等式的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．