Question

17．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F和橢圓E：$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1的右焦點重合，
直線l過點F交拋物線于A，B兩點．
（1）若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的長；
（2）若直線l交y軸于點M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，試求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓和拋物線的定義即可求出p的值，求出直線l的方程，聯(lián)立方程組，得到x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，根據焦點弦定理即可求出|AB|，
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-2），l與y軸交于M（0，-k），設直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線聯(lián)立，消元利用韋達定理，結合$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，運用向量的坐標表示，可得m，n，由此可得結論．

解答 解：（1）據已知得橢圓E的右焦點為F（2，0），
∴$\frac{p}{2}$=2，
故拋物線C的方程為y²=8x，
∵直線l的傾斜角為60°，
∴y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
于是得到（$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$）²=8x，即3x²-20x+12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，
∴|AB|=p+x₁+x₂=$\frac{32}{3}$，
（2）根據題意知斜率必存在，于是設方程為y=k（x-2），點M坐標為M（0，-k），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為l與拋物線C的交點，得到k²x²-4（k²+2）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∵$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（2-x₁，-y₁），（x₂，y₂+k）=n（2-x₂，-y₂），
∴m=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$，
∴m+n=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}）}{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=-1．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，聯(lián)立方程，利用韋達定理是關鍵，屬于中檔題．