Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1

2

（a_n²+a_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M使得下列不等式2ⁿ•a₁•a₂•a₃…a_n≥M•

2n+1

•（2a₁-1）•（2a₂-1）•（2a₃-1）…（2a_n-1），對一切的n∈N^*成立，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，從而可求{a_n}的通項公式；
（2）假設M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

對一切n∈N^*恒成立．令g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，g（n+1）=

2n+1a1a2…an+1

2n+3 (2a1-1)(2a2-1)…(2an+1-1)

．故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，由此能導出n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，0＜M≤

2 3

3

．

解答： 解：（1）∵a_n²=2S_n-a_n，
∴當n=1時，

a

2 1

=2a₁-a₁，即

a

2 1

=a₁，
∵a₁＞0，a₁=1
又

a

2 n+1

=2S_n+1-a_n+1，
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各項都是正數(shù)，
∴a_n+1-a_n=1
∴數(shù)列{a_n}是1為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n
（2）假設M存在滿足條件，即M≤

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

對一切n∈N^*恒成立．
令g（n）=

2na1a2…an

2n+1 (2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)

，g（n+1）=

2n+1a1a2…an+1

2n+3 (2a1-1)(2a2-1)…(2an+1-1)

．
故

g(n+1)

g(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1，∴g（n+1）＞g（n），
∴g（n）單調遞增，
∴n∈N^*，g（n）≥g（1）=

2 3

3

，
∴0＜M≤

2 3

3

．

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．