Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明．

（2）若，，求的值．

（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)．

（2）．

（3）．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定方法證明即可．（2）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意得到關(guān)于x的方程，解方程可得的值，再由題意可得所求．（3）用分離參數(shù)的方法求解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，求最值時(shí)要先根據(jù)定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．

試題解析：

（1）由題意知，的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

又，

∴是上的奇函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，，

令，即，

整理得，

解得或，

又，

∴，

∴．

（3）由題意知，在上恒成立，

即在上恒成立．

①當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)于成立．

②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

設(shè)，

令，則，

則，，

設(shè)，

則，

所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

故，

故．

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍．