Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，當x∈[0，3]時，f（x）=log₂（x+1）．設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2x+m，x∈[-3，3]．如果對于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-13，-1]
• B． （-∞，-1]
• C． [-13，+∞）
• D． [1，13]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，當x∈[0，3]時，f（x）=log₂（x+1）．求出f（x）在[-3，3]上的解析式，求出其值域．對于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），則f（x）的值域是g（x）的值域的子集關(guān)系，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，當x∈[0，3]時，f（x）=log₂（x+1）．在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，
當x＜0時，-x＞0，則有：f（-x）=log₂（-x+1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=log₂（-x+1）=-f（x）
∴f（x）=-log₂（-x+1）=$lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}$
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x+1，（0≤x≤3）}\\{lo{g}_{2}\frac{1}{1-x}，（-3≤x＜0）}\end{array}\right.$，在其定義域內(nèi)[-3，3]是增函數(shù)，
∴f（x）的值域為[-2，2]
函數(shù)g（x）=x²-2x+m，x∈[-3，3]．開口向上，對稱軸x=1，
所以：函數(shù)最小值為g（x）_min=m-1，最大值為g（x）_max=g（-3）=15+m．
故得g（x）的值域為[-2，2]．
對于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤-2}\\{15+m≥2}\end{array}\right.$，
解得：-13≤m≤-1
故選：A．

點評 本題考查了分段函數(shù)的解析式和值域我的求法以及二次函數(shù)最值，恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式求解．屬于中檔題．