Question

2．O是面α上一定點(diǎn)，A，B，C是面α上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對角．以下命題正確的是②③④⑤．（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）
①動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
②動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|}}$）（λ＞0），則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
③動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|sinB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|sinC}}$）（λ＞0），則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；
④動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中．
⑤動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}}{2}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，得出$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，P是△ABC的重心，判斷①錯(cuò)誤；
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|}}$）（λ＞0），得出$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），$\overrightarrow{AP}$與∠BAC的平分線所在向量共線，判斷②正確；
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|sinB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|sinC}}$）（λ＞0），得出$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|sinC}$），$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{AD}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），判斷③正確；
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），得出$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$），$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，判斷④正確；
由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}}{2}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），得出E為BC的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{EP}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$），$\overrightarrow{EP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，判斷⑤正確．

解答 解：對于①，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，∴P是△ABC的重心，
∴△ABC的外心不一定在P點(diǎn)的集合中，①錯(cuò)誤；
對于②，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|}}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
又向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在∠BAC的平分線上，∴$\overrightarrow{AP}$與∠BAC的平分線所在向量共線，
∴△ABC的內(nèi)心在滿足條件的P點(diǎn)集合中，②正確；
對于③，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|sinB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|sinC}}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|sinC}$）；
過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$sinC=AD，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{AD}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），向量$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$與BC邊的中線共線，
因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，③正確；
對于④，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$），∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）=λ（|$\overrightarrow{BC}$|-|$\overrightarrow{BC}$|）=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，④正確；
對于⑤，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}}{2}$+λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）（λ＞0），
設(shè)$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$=$\overrightarrow{OE}$，則E為BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{EP}$=λ（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$），
由④知（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{AB}|cosB}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{AC}|cosC}}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，得$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，∴$\overrightarrow{EP}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
∴P點(diǎn)的軌跡為過E的BC的垂線，即BC的中垂線；
∴△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合，⑤正確．
故正確的命題是②③④⑤．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評 本題綜合考查了向量形式的三角形的外心、重心、內(nèi)心、垂心的性質(zhì)及其向量運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．