Question

已知函數(shù)f（x）=

4x

2+4x

．
（1）證明：y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（

1

2

，

1

2

）對(duì)稱；
（2）求f（-100）+f（-99）+…+f（101）；
（3）求f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值,函數(shù)的圖象,指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)的解析式，分析出1-f（1-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心是（

1

2

，

1

2

）；
（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，進(jìn)而可得f（-100）+f（-99）+…+f（101）=101[f（x）+f（1-x）]．
（3）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，進(jìn)而可得f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）=

n+1

2

[f（x）+f（1-x）]．

解答： 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=

4x

2+4x

．
∴1-f（1-x）=1-

41-x

2+41-x

=

2

2+41-x

=

2•4x

2•4x+4

=

4x

2+4x

，
故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心是（

1

2

，

1

2

）；
解：（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，
∴f（-100）+f（-99）+…+f（101）=101[f（x）+f（1-x）]=101，
（3）由（1）得：f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

0

n

）+f（

1

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）=

n+1

2

[f（x）+f（1-x）]=

n+1

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱性，其中熟練掌握函數(shù)對(duì)稱變換法則，是解答的關(guān)鍵．