Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a，b為實常數(shù)）．
（1）當a=b=1時，證明：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，設(shè)其定義域為A，是否存在同時滿足下列兩個條件的區(qū)間D：（1）D⊆A，（2）對任何x∈D，c∈D，都有f（x）＜c²-3c+3成立？若存在，求出這樣的區(qū)間D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）舉出反例即可，只要檢驗f（-1）≠-f（1），可說明f（x）不是奇函數(shù)；
（2）由題意可得f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立．整理可求a，b
（3）當$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求f（x），由二次函數(shù)的性質(zhì)可求c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，當$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$（x≠0），當x＞0時，f（x）＜-$\frac{1}{2}$；當x＜0時，f（x）＞$\frac{1}{2}$結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求c²-3c+3的范圍，即可求解．

解答 （1）證明：當a=b=1時，f（1）=-$\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{1}{4}$
所以f（-1）≠-f（1），
所以f（x）不是奇函數(shù)；（4分）
（2）解：f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立．（1分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．     
經(jīng)檢驗都符合題意．（3分）
（3）解：當$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
因為2^x＞0，
所以2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，從而-$\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；（2分）
而c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$對任何實數(shù)c成立；
所以可取D=R對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（3分）
當$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$（x≠0），
所以當x＞0時，f（x）＜-$\frac{1}{2}$；當x＜0時，f（x）＞$\frac{1}{2}$； （2分）
①因此取D=（0，+∞），對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（1分）
②當c＜0時，c²-3c+3＞3，解不等式-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$≤3得：x≤$lo{g}_{2}\frac{5}{7}$．
所以取D=（-∞，$lo{g}_{2}\frac{5}{7}$]，對任何屬于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立． （2分）

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵