Question

20．已知一元二次方程（k+1）x²-2（k+7）x+k-5=0有實(shí)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k在取值范圍內(nèi)取最大負(fù)整數(shù)時(shí)，若方程兩實(shí)根為x₁，x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$的值多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可得k+1≠0，且△≥0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）求得最大負(fù)整數(shù)為-2，再由二次方程的韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得k+1≠0，
且△≥0，即4（k+7）²-4（k+1）（k-5）≥0，
解得k≥-3且k≠-1，
即k的范圍是[-3，-1）∪（-1，+∞）；
（2）由k≥-3且k≠-1，且k為負(fù)整數(shù)，可得
k的最大值為-2，
即有二次方程為-x²-10x-7=0，
即x²+10x+7=0，
方程兩實(shí)根為x₁，x₂，即有x₁+x₂=-10，x₁x₂=7，
則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=$\frac{14-（-10）}{7-（-10）+1}$=$\frac{4}{3}$．
即有$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$的值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次方程的實(shí)根的分布，注意運(yùn)用判別式大于等于0，考查二次方程的韋達(dá)定理的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．