Question

11．已知$0＜α＜\frac{π}{2}$，$sinα=\frac{4}{5}$，$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$，則tanβ=3；$\frac{{sin（2β-\frac{π}{2}）•sin（β+π）}}{{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，tanα的值，由$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$利用兩角差的正切函數(shù)公式即可解得tanβ的值，利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算求值．

解答 解：∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$sinα=\frac{4}{5}$，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$，
∵$tan（α-β）=-\frac{1}{3}$=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-tanβ}{1+\frac{4}{3}tanβ}$，
∴解得：tanβ=3，
∴$\frac{{sin（2β-\frac{π}{2}）•sin（β+π）}}{{\sqrt{2}cos（β+\frac{π}{4}）}}$=$\frac{cos2β•sinβ}{cosβ-sinβ}$=$\frac{\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β}•sinβ}{cosβ-sinβ}$=$\frac{\frac{1-ta{n}^{2}β}{1+ta{n}^{2}β}•tanβ}{1-tanβ}$=$\frac{\frac{1-9}{1+9}×3}{1-3}$=$\frac{6}{5}$．
故答案為：$3\;，\;\;\frac{6}{5}$．

點評 本題主要考查了兩角差的正切函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．