Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=2

2Sn-1

+2，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求b_n=

2

anan-1

的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2

2Sn-1

=a_n-2，且a_n≥2．由此求出（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0．從而得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=

2

anan-1

=

2

(n+1)n

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能求出b_n=

2

anan-1

的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=2

2Sn-1

+2，
∴2

2Sn-1

=a_n-2，且a_n≥2．
8S_n-1=an2-4an+4，
∴8S_n=an+12-4a_n+1+4，
∴8a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-4a_n+1+4a_n，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0．
∵a_n≥2，∴a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
（2）∵b_n=

2

anan-1

=

2

(n+1)n

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．