Question

正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角為α，側(cè)面與底面的二面角的平面角為β，則2cosα+cos2β的值是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   -1
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，作出兩個(gè)二面角的平面角，求解即可．
解答：解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，如圖
過S做SE⊥AB與E，SO⊥底面ABCD與O，連EO，則∠SEO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即為β，
在三角形SEO中，SE²=，OE=，所以cos²β=，cos2β=2cos²β-1=-1
過B做BH⊥SA與H，連CH，由△SAB≌△SAC，所以CH⊥SA，則角BHC即為兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，即α，
在△BCH中，BC=a，BH=CH=，由余弦定理可得cosα=，
所以2cosα+cos2β=2（cosα+cos²β ）-1=0-1=-1
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的做法和求解、解三角形知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算能力．