Question

2．當x∈（0，1]時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-6，+∞）．

Answer 1

分析 當x=0時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，可得a∈R；當x＞0時，分離參數(shù)a，得a≥$\frac{1}{x}-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$恒成立．令$\frac{1}{x}$=t換元后利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，求出a的范圍，取交集得答案．

解答 解：當x=0時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，∴a∈R；
當x＞0時，分離參數(shù)a，得a≥$\frac{1}{x}-\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{3}}$恒成立．
令$\frac{1}{x}$=t，x∈（0，1]，∴t≥1．
∴a≥t-4t²-3t³恒成立．
令g（t）=t-4t²-3t³，則g′（t）=1-8t-9t²=（t+1）（-9t+1），
當t≥1時，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）為[1，+∞）上的減函數(shù)，
則g（t）≤g（1）=-6．
∴a≥-6．
取交集得a≥-6．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-6，+∞）．
故答案為：[-6，+∞）．

點評 本題考查利用分離參數(shù)法求解恒成立問題，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．