Question

2．已知函數f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）當m=$\frac{1}{2}$時，求f（x）的定義域．
（2）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將m=$\frac{1}{2}$代入得到f（x）的解析式，根據解析式要有意義，列出不等式，求解即可得到f（x）的定義域；
（2）將f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，等價為f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，轉化為f（x）_min＞0，利用f（x）的單調性即可求出f（x）的最小值，從而列出不等式，求解即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）當m=$\frac{1}{2}$時，f（x）=lg[（$\frac{1}{2}$）^x-2^x]，
∴（$\frac{1}{2}$）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，
∴-x＞x，即x＜0，
∴函數f（x）的定義域為{x|x＜0}；
（2）設x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
令g（x）=m^x-2^x，
∴g（x₂）-g（x₁）=m^x₂-2^x₂-m^x₁+2^x₁=m^x₂-m^x₁+2^x₁-2^x₂，
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴m^x₂-m^x₁＜0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，即g（x₂）＜g（x₁），
∴l(xiāng)g（g（x₂））＜lg（g（x₁）），
∴l(xiāng)g（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數，
∴f（x）在（-∞，-1]上是單調遞減函數，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值為f（-1）=lg（m^-1-2^-1），
∵f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，即f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∴f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，即m^-1-2^-1＞1，
∴$\frac{1}{m}$＞1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵0＜m＜1，
∴0＜m＜$\frac{2}{3}$，
故m的取值范圍為0＜m＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數定義域的求解，函數單調性的判斷及其證明，函數恒成立問題的求解．對于求函數的定義域即求使得解析式有意義的x的取值集合．函數恒成立問題的，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．