已知函數(shù)f（x）=x2-2lnx+a（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值與最小值．
（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′（x）=2x-
2
x
，
令f′（x）＞0，有
x2-1＞0
x＞0
，解之得x＞1，
令f′（x）＜0，有
x2-1＜0
x＞0
，得0＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）當(dāng)x在[
1
2
，2]上變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

由表知，函數(shù)f（x）min=1-a，
又f(
1
2
)=(
1
2
)2-2ln
1
2
+a=
1
4
+2ln2+a，f（2）=22-2ln2+a=4-2ln2+a，
f(
1
2
)-f(2)=(
1
4
+2ln2+a)-(4-2ln2+a)=4ln2-
15
4
＜0，
所以f（x）max=4-2ln2+a．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）=
3x
+1，則
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值為（　　）
A．-
1
3
B．
1
3
C．
2
3
D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若曲線y=ln2x在點(diǎn)P處的切線斜率為1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=lnx-x-1，h（x）=
1
2
x2．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的極大值．
（Ⅱ）求證：存在x0∈（1，+∞），使g(x0)=g(
1
2
)；
（Ⅲ）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的分界線．試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)f(x)=
x2+a
x+1
(a∈R)．
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為
1
2
，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在x=1取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)M，m分別是函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，則f′（x）（　�。�
A．等于0B．小于0C．等于1D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

函數(shù)f（x）=
1
3
x3-2x2+3x-2在區(qū)間[0，2]上最大值與最小值的和為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-6x2-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a＞0．
（1）若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），記直線AB的斜率為K，證明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．

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