Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+2．
（1）若f（x）＞-x-1恒成立，求a的取值范圍；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）把f（x）＞-x-1恒成立轉(zhuǎn)化為ax²-2ax+3＞0恒成立．然后分a=0和a≠0分類求解得答案；
（2）不等式f（x）＞0?ax²-（2a+1）x+2＞0．然后a=0和a≠0分類求解，當(dāng)a≠0時(shí)，再分a＜0和a＞0，同時(shí)結(jié)合判別式大于0、等于0、小于0分類求解．

解答 解：（1）由f（x）＞-x-1恒成立，得ax²-（2a+1）x+2＞-x-1恒成立，
即ax²-2ax+3＞0恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為3＞0恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2a）^{2}-12a＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜3．
綜上，a的取值范圍是0≤a＜3；
（2）不等式f（x）＞0?ax²-（2a+1）x+2＞0．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式解集為{x|x＜2}；
當(dāng)a＜0時(shí)，解得$\frac{1}{a}＜x＜2$，不等式解集為$\{x|\frac{1}{a}＜x＜2\}$；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，解得x$＞\frac{1}{a}$或x＜2，不等式解集為$\{x|x＞\frac{1}{a}$或x＜2}；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式化為（x-2）²＞0，即x≠2，不等式解集為{x|x≠2}；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，解得x＜$\frac{1}{a}$或x＞2，不等式解集為{x|x＞2或$x＜\frac{1}{a}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了一元二次方程根的分布、一元二次不等式的解集與一元二次函數(shù)圖象間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用分類討論法求解含有字母系數(shù)的不等式，是中檔題．