Question

7．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點M（-3，4）關于一條漸進線的對稱點恰為右焦點f₂，則該雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)以及點的對稱中點坐標公式即可求出

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=-$\frac{a}$x，右焦點F₂的坐標為（c，0），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點M（-3，4）關于一條漸進線的對稱點恰為右焦點F₂，
∴$\frac{0-4}{c+3}$•（-$\frac{a}$）=-1，①
∵AF₂的中點坐標為（$\frac{c-3}{2}$，2），
∴2=-$\frac{a}$•$\frac{c-3}{2}$，②，
∵a²+b²=c²，③，
由①②③解得a²=5，b²=20，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和定義，以點的對稱問題，考查了學生的運算能力，屬于中檔題