Question

4．設a＞0，b＞0，且a+b=1．證明：
（ I）$\frac{a^2}$+$\frac{b^2}{a}$≥a+b；
（II）$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）去分母后使用分析法尋找使不等式成立的條件恒成立即可；
（2）兩邊平方使用分析法尋找使得不等式成立的條件，轉而證明條件恒成立即可．

解答 證明：（I）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
欲證$\frac{a^2}$+$\frac{b^2}{a}$≥a+b，即證$\frac{a^2}$+$\frac{b^2}{a}$≥1
只需證a³+b³≥ab，即證（a+b）（a²-ab+b²）≥ab，
即證a²-ab+b²≥ab，
只需證a²-2ab+b²≥0，
即證（a-b）²≥0，
顯然（a-b）²≥0恒成立，
∴$\frac{a^2}$+$\frac{b^2}{a}$≥a+b．
（II）欲證$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{2}$，
只需證（$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$）²≤8，
即證2a+2b+2+2$\sqrt{（2a+1）（2b+1）}$≤8，
即證$\sqrt{（2a+1）（2b+1）}$≤2，
只需證（2a+1）（2b+1）≤4，
即證4ab+2a+2b+1≤4，
即證ab$≤\frac{1}{4}$．
∵a+b=1，∴$\sqrt{ab}≤\frac{a+b}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴ab$≤\frac{1}{4}$．
∴$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了不等式的證明方法，屬于中檔題．