Question

12．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E為BC的中點．
（1）求證：平面PED⊥平面PAE；
（2）求直線PD與平面PAE所成的角．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，由已知可得：AE²+DE²=16=AD²，因此DE⊥AE，利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DE．再利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．
（2）由（1）可得：DE⊥平面PAE，可得∠DPE是直線PD與平面PAE所成的角．再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，
∵AB=2，PA=AD=4，E為BC的中點．
∴AE²=2²+2²=8=DE²，
∴AE²+DE²=16=AD²，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴PA⊥DE．
又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE，又DE?平面PED．
∴平面PED⊥平面PAE．
（2）解：由（1）可得：DE⊥平面PAE，
∴∠DPE是直線PD與平面PAE所成的角．
在Rt△PAE中，PE=$\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
同理可得：DE=2$\sqrt{2}$．
∴tan∠DPE=$\frac{DE}{PE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DPE=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、勾股定理及其逆定理、矩形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．