Question

9．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$
（1）把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）已知P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點(diǎn)，可設(shè)P（4cosθ，3sinθ）．可得點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，可得直角坐標(biāo)方程：x+y-6=0．
（2）P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點(diǎn)，可設(shè)P（4cosθ，3sinθ）．
∴點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)取等號(hào)，
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、點(diǎn)的直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．