Question

9．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$
（1）把直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）已知P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點，求點P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點，可設P（4cosθ，3sinθ）．可得點P到直線l的距離d=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=3$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=3$\sqrt{2}$，可得直角坐標方程：x+y-6=0．
（2）P為曲線C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上一點，可設P（4cosθ，3sinθ）．
∴點P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當sin（θ+φ）=1時取等號，
∴點P到直線l的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、橢圓的參數(shù)方程及其應用、點的直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．