【題目】已知函數(shù)(),.
(1)若,曲線在點處的切線與軸垂直,求的值;
(2)若,試探究函數(shù)與的圖象在其公共點處是否存在公切線.若存在,研究值的個數(shù);,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)當(dāng)時,函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線,當(dāng)時,函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線,且符合題意的的值有且僅有兩個.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時, ,得到,依題意,即可求解的值;(2)假設(shè)的圖象在其公共點處存在公切線,分別求出導(dǎo)數(shù),令,得,討論,分別, ,令,研究方程解的個數(shù),可構(gòu)造函數(shù),運用都是求出單調(diào)區(qū)間,討論函數(shù)的零點個數(shù)即可判斷.
試題解析:(1)當(dāng)時, ,∴ ,
依題意得,∴ .
(2)假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線,
∵,∴ ,∴ , ,
由得,即,
∴,故.
∵函數(shù)的定義域為,
當(dāng)時, ,∴函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線;
當(dāng)時,令,
∵, ,
∴,即().
下面研究滿足此等式的的值的個數(shù):
設(shè),則,且,方程化為,
分別畫出和的圖象,
當(dāng)時, , ,
由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得和的圖象有且只有兩個公共點(且均符合),
∴方程有且只有兩個根.
綜上,當(dāng)時,函數(shù)與的圖象在其公共點處不存在公切線;當(dāng)時,函數(shù)與的圖象在其公共點處存在公切線,且符合題意的的值有且僅有兩個.
點晴:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題,其中解答中涉及到了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點處的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及推理與運算能力,本題的解答中認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的合理應(yīng)用,試題有一定的難度,屬于難題.
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【題目】數(shù)列是正整數(shù)的任一排列,且同時滿足以下兩個條件:
①;②當(dāng)時, ().
記這樣的數(shù)列個數(shù)為.
(I)寫出的值;
(II)證明不能被4整除.
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【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列四個命題:
①f(x)是周期函數(shù);②f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱;③f(x)在[1,2]上是減函數(shù);④f(2)=f(0).
其中正確命題的序號是____________.(請把正確命題的序號全部寫出來)
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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是腰長為6的等腰直角三角形,俯視圖是正方形.
(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積;
(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1?如何組拼?試證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的情形下,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值.
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【題目】如圖,等腰梯形中, , 于點, ,且.沿把折起到的位置(如圖),使.
(I)求證: 平面.
(II)求三棱錐的體積.
(III)線段上是否存在點,使得平面,若存在,指出點的位置并證明;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,在平面多邊形中,四邊形為正方形, , ,沿著將圖形折成圖2,其中, , 為的中點.
(1)求證: ;
(2)求四棱錐的體積.
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【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值,若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品. 表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.
表1:甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
圖1:乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖
(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān);
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計 | |||||||||||||
合格品 | |||||||||||||||
不合格品 | |||||||||||||||
合計 | ,求的期望. |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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【題目】已知點為圓的圓心, 是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足, .
(1)當(dāng)點在圓上運動時,求點的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,直線與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點, , 是坐標(biāo)原點,且時,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D為AC的中點,AB⊥B1D.
(1)求證:平面ABB1A1⊥平面ABC;
(2)在線段CC1(不含端點)上,是否存在點E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為-?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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