Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若b²+c²=2a²，則cosA的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由b²+c²=2a²得a²=$\frac{1}{2}$（b²+c²），由余弦定理表示出cosA，代入化簡后利用不等式求出cosA的最小值．

解答 解：由b²+c²=2a²得a²=$\frac{1}{2}$（b²+c²），
在△ABC中，由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-\frac{^{2}+{c}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{4bc}$$≥\frac{2bc}{4bc}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，
∴cosA的最小值為$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查余弦定理，以及不等式求最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．