Question

17．在直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ=1．直線l與曲線C交于A，B兩點．
（I）求|AB|的長；
（II）若P點的極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}）$，求AB中點M到P的距離．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標方程為ρ²•cos2θ=1，利用倍角公式可得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，再利用互化公式即可得出普通方程．直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數），化為標準形式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，代入上述普通方程可得：t²-2t-4=0．利用|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．
（II）P點的極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}）$，化為直角坐標P（0，1）．AB中點M對應的參數t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=1，可得M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，可得點M到P的距離．

解答 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ²•cos2θ=1，∴ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，即x²-y²=1．
直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數），化為標準形式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
代入上述普通方程可得：t²-2t-4=0．
則t₁+t₂=2，t₁t₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4-4×（-4）}$=2$\sqrt{5}$．
（II）P點的極坐標為$（{1，\frac{π}{2}}）$，化為直角坐標P（0，1）．
AB中點M對應的參數t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=1，∴M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，點M到P的距離d=1．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程的應用，考查了數形結合方法\推理能力，屬于中檔題．