Question

12．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ，現(xiàn)以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁、C₂交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABD，求△ABD外接圓的圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)得：x+2$\sqrt{3}$y=0；
（2）聯(lián)立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）⇒BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$，點(diǎn)D在AB的中垂線上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），t=±3$\sqrt{13}$

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
∴曲線C₁的普通方程：x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0；
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)得：x+2$\sqrt{3}$y=0，
∴曲線C₂的普通方程：x+2$\sqrt{3}$y=0．
（2）聯(lián)立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）．
等邊△ABD的邊長(zhǎng)為：2$\sqrt{39}$，BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$
點(diǎn)D在AB的中垂線上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），
t=3$\sqrt{13}$時(shí)，D（9，5$\sqrt{3}$），此時(shí)△ABD外接圓的圓心坐標(biāo)為（7，$\sqrt{3}$）．
t=-3$\sqrt{13}$時(shí)，D（3，-7$\sqrt{3}$），此時(shí)△ABD外接圓的圓心坐標(biāo)為（5，-3$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了題考察了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換．利用參數(shù)設(shè)坐標(biāo)，求解距離的問題，屬于中檔題．