Question

20．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y+1≥0}\\{λx-y-λ≤0}\end{array}\right.$（λ＞1）在平面上表示的區(qū)域?yàn)镈
（1）當(dāng)λ=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出區(qū)域D，并求區(qū)域?yàn)镈的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)區(qū)域?yàn)镈的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=2時(shí)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合平面區(qū)域的特點(diǎn)求出圓心和半徑即可求區(qū)域?yàn)镈的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)區(qū)域?yàn)镈的面積為S，作出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求S的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)λ=2時(shí)，不等式組等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y+1≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椋ㄈ�角形ABC），

∵直線x-y+1=0與x+y+1=0垂直，
∴區(qū)域?yàn)镈的外接圓的直徑為BC，圓心為B，C的中點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（3，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
則B，C的中點(diǎn)為（$\frac{3+\frac{1}{3}}{2}$，$\frac{4-\frac{4}{3}}{2}$），即（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
2R=|BC|=$\sqrt{（\frac{1}{3}-3）^{2}+（-\frac{4}{3}-4）^{2}}$=$\frac{10}{3}$$\sqrt{17}$，
即R=$\frac{5\sqrt{17}}{3}$，
即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{1700}{9}$；
（2）設(shè)區(qū)域?yàn)镈的面積為S，
當(dāng)λ=1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線為x-y-1=0，此時(shí)直線x-y-1=0與x-y+1=0平行，此時(shí)對(duì)應(yīng)的面積S無(wú)窮大，
當(dāng)直線為x=1時(shí)，得B（1，2），C（1，-2），
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2×4$=4，

故S＞4，
即S的取值范圍是（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及利用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．