Question

7．任取兩個(gè)滿足1≤m＜n≤3的實(shí)數(shù)m，n，則橢圓mx²+ny²=1的離心率小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$的概率為（　　）

• A． $\frac{15}{16}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出橢圓mx²+ny²=1的離心率e，列出不等式求出n與m的關(guān)系；由此畫(huà)出滿足條件的線性區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的概率．

解答 解：橢圓mx²+ny²=1可化為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$=1，
∵1≤m＜n≤3，
∴1≥$\frac{1}{m}$＞$\frac{1}{n}$≥$\frac{1}{3}$，
∴在橢圓mx²+ny²=1中，
a²=$\frac{1}{m}$，b²=$\frac{1}{n}$，c²=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-m}{mn}$；
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{n-m}{n}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即1-$\frac{m}{n}$＜$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)得n＜2m；
∴由此畫(huà)出滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{n＜2m}\\{1≤m＜n≤3}\end{array}\right.$的線性區(qū)域，如圖所示：

∴所求的概率為P=1-$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△ABC}}$=1-$\frac{\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×2×2}$=$\frac{7}{8}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型與線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．