Question

2．已知半圓C：x²+y²=1（y≥0），A，B分別為半圓C與x軸的左右交點，直線m過點B且與x軸垂直，T是圓弧$\widehat{AB}$上的一個三等分點，連接AF并延長至直線m于S，則四邊形OBST的面積為$\frac{7\sqrt{3}}{4}$或$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 由題意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．再分類討論，即可求出四邊形OBST的面積．

解答 解：由題意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．
∠SAB=60°，直線AT的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），x=1，y=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形OBST的面積為$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
∠SAB=30°，直線AT的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），x=1，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形OBST的面積為$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{3}}{4}$或$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查四邊形OBST的面積，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．