Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=3，D 是BC的中點．
（I）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（II）求證：平面ADC₁⊥平面DCC₁；
（III）在側(cè)棱CC₁上是否存在一點E，使得三棱錐C-ADE的體積是，若存在，求CE長；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴四邊形ACC₁A₁為矩形，可得點O為A₁C的中點．
∵D為BC中點，得DO為△A₁BC中位線，
∴A₁B∥OD．
∵OD⊆平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）∵底面ABC正三角形，D是BC的中點
∴AD⊥CD
∵CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴CC₁⊥AD．
∵CC₁∩CD=C，∴AD⊥平面DCC₁，
∵AD⊆平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥平面DCC₁．…（9分）
（Ⅲ）假設在側(cè)棱CC₁上存在一點E，使三棱錐C-ADE的體積是，設CE=m
∵三棱錐C-ADE的體積V_C-ADE=V_A-CDE
∴××CD×CE×AD=，得×××m×=．
∴m=，即CE=
∴在側(cè)棱CC₁上存在一點E，當CE=時，三棱錐C-ADE的體積是．…（14分）
分析：（Ⅰ）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD．可得DO為△A₁BC中位線，A₁B∥OD，結合線面平行的判定定理，得A₁B∥平面ADC₁．
（II）由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AD．正三角形ABC中，中線AD⊥BC，結合線面垂直的判定定理，得AD⊥平面DCC₁，最后由面面垂直的判定定理，證出平面ADC₁⊥平面DCC₁．
（III）假設在側(cè)棱CC₁上存在一點E且CE=m，滿足三棱錐C-ADE體積是，利用△CDE作為底、AD為高，得三棱錐A-CDE的體積，即為三棱錐C-ADE的體積，建立等式即可解出m的值，所以在側(cè)棱CC₁上存在點E，使三棱錐C-ADE的體積是．
點評：本題給出直三棱柱，求證線面平行、面面垂直并探索三棱錐的體積，著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了錐體體積公式的應用，屬于基礎題．