Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+3a+b，定義域?yàn)閇a-1，2a]．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a、b的值；
（2）若�。�1）中求出的a值，求f（x）在[a-1，2a]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)，得2a=-a+1，求得a值后代入f（x），再由f（-x）-f（x）=0求得b的值；
（2）把a(bǔ)=

1

3

代入則f（x），在求出函數(shù)定義域[-

2

3

，

2

3

]，然后分類求得f（x）的最小值．

解答： 解：（1）若f（x）為偶函數(shù)，則2a=-a+1，即a=

1

3

，
則f（x）=

1

3

x²+bx+1+b，
再由f（-x）-f（x）=0，得

1

3

(-x)2+b(-x)+1+b-

1

3

x²-bx-1-b=-2bx=0，b=0．
∴a=

1

3

，b=0；
（2）a=

1

3

，則f（x）=

1

3

x²+bx+1+b，x∈[-

2

3

，

2

3

]，
對稱軸方程為x=-

3b

2

．
若-

3b

2

＜-

2

3

，即b＞

4

9

，f(x)min=f(-

2

3

)=

b

3

+

31

27

；
若-

3b

2

＞

2

3

，即b＜-

4

9

，f(x)min=f(

2

3

)=

5b

3

+

31

27

；
若-

2

3

≤-

3b

2

≤

2

3

，即-

4

9

≤b≤

4

9

，f(x)min=f(-

3b

2

)=-

3b2

4

+b+1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)最值的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．