Question

已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常數(shù)，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a=1代入原函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)性、極值；
（II）先求出其導(dǎo)函數(shù)，通過分類討論分別求出導(dǎo)數(shù)為0的根，以及單調(diào)性和極值，再與f（x）的最小值是3相結(jié)合，即可得出結(jié)論．
解答：解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，
則 （1分）
且x∈（0，e]得x∈[1，e）單調(diào)遞增；（3分）
且x∈（0，e]得x∈（0，1）單調(diào)遞減；（5分）
當(dāng)x=1時取到極小值1；（6分）
（II） （7分）
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；（9分）
②當(dāng)a＞0時，f′（x）=0的根為
當(dāng) 時，，解得a=e²（12分）
③當(dāng) 時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減f（e）＜0，與題意不符；（14分）
綜上所述a=e²（15分）
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)一般應(yīng)用在求切線的斜率極其方程，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，和求在某個區(qū)間上的最值問題上．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考考查的重點，須重視．