【題目】已知(m,n為常數(shù)),在處的切線方程為

(Ⅰ)求的解析式并寫出定義域;

(Ⅱ)若,使得對(duì)上恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求證:.

【答案】(Ⅰ),x∈(0,+∞);(Ⅱ);(Ⅲ)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義意義求得m,n的值,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得到函數(shù)定義域;

(Ⅱ)fx)在[1]上的最小值為f1)=1,只需t3t22at+21,即對(duì)任意的上恒成立,構(gòu)造函數(shù)mt),利用導(dǎo)數(shù)求出mt)的最大值,即可求得結(jié)論;

(Ⅲ)不妨設(shè)x1x20,得到gx1)=gx2)=0,根據(jù)相加和相減得到,再利用分析法,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最小值,問題得以證明.

解:(Ⅰ)由f(x)=+nlnx可得

由條件可得,把x=-1代入x+y=2可得,y=1,

,∴m=2,,∴,x∈(0,+∞),

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在上單調(diào)遞減,∴f(x)在上的最小值為f(1)=1,

故只需t3-t2-2at+2≤1,即對(duì)任意的上恒成立,

,

易求得mt)在單調(diào)遞減,[1,2]上單調(diào)遞增,

,,∴2a≥m(t)max=g(2),∴,即a的取值范圍為

(Ⅲ)∵,不妨設(shè)x1x2>0,

gx1)=gx2)=0,

,,相加可得,相減可得

由兩式易得:;要證,即證明,即證:,需證明成立,令,則t>1,于是要證明,構(gòu)造函數(shù),∴,故t)在(1,+∞)上是增函數(shù),

t)>(1)=0,∴,故原不等式成立.

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