Question

【題目】已知F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），曲線C1上任意一點(diǎn)M滿足 ；曲線C2上的點(diǎn)N在y軸的右邊且N到F2的距離與它到y(tǒng)軸的距離的差為1．
（1）求C1 ， C2的方程；
（2）過F1的直線l與C1相交于點(diǎn)A，B，直線AF2 ， BF2分別與C2相交于點(diǎn)C，D和E，F(xiàn)．求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)， 為實(shí)軸長的雙曲線的左支，故有 ，

∴C1的方程為 ，

設(shè)N（x，y）（x＞0），則有 ，化簡得y2=4x（x＞0），

即C2的方程為y2=4x（x＞0）．

（2）解：設(shè)直線l的方程為x=ky﹣1（0≤k2＜1），

聯(lián)立方程組 ，消去x得 ，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有 ，

設(shè)AF2，BF2的斜率分別為k1，k2，則有 ，

∴ ， ，

直線AF2的方程為y=k1（x﹣1），代入y2=4x有 ，

設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則有 ，

∴ ，

同理 ．

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）判斷點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)， 為實(shí)軸長的雙曲線的左支，然后求解橢圓方程．設(shè)N（x，y）（x＞0），則有 ，化簡可得C2的方程．（2）設(shè)直線l的方程為x=ky﹣1（0≤k2＜1），聯(lián)立方程組 ，消去x，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解斜率關(guān)系，直線AF2的方程為y=k1（x﹣1），代入y2=4x，求出CD，EF然后推出結(jié)果．