Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且S5=a5+a6=25．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=a5+a6=25，

∴ ，

解得a1=﹣1，d=3，

∴{an}的通項(xiàng)公式an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．

（2）解：∵a1=﹣1，d=3，

∴ = ．

∵不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，

∴3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，

∴（﹣1）nk＜n+ +1對(duì)所有的正整數(shù)n都成立，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k＜n+ +1，

設(shè)F（n）=n+ +1，

F（n）min=F（4）=4+ = ．

∴k＜ ．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，﹣k＜n+ +1，k＞﹣（n+ +1），

﹣（n+ +1）≤﹣2 ﹣1=﹣7，

當(dāng)且僅當(dāng)n= ，即n=3時(shí)，取等號(hào)，

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣7， ）．

【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式．（2）求出Sn，從而3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．