Question

1．已知命題p：方程x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；命題q：對(duì)任意x∈[0，8]，不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立．若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得△＞0，解得m；命題q：不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立等價(jià)于m²-3m小于或等于log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）在x∈[0，8]上的最小值，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）最小值問(wèn)題，求得m的范圍；若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，可得p與q必然一真一假，求解不等式組即可得答案．

解答 解：命題p：∵方程x²-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=4-4m＞0，解得m＜1；
命題q：f（x）=log$_{\frac{1}{3}}$（x+1），則f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)，∵x∈[0，8]，
∴當(dāng)x=8時(shí)，f（x）_min=f（8）=-2．不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立，
等價(jià)于-2≥m²-3m，解得1≤m≤2．
p且q為假，p或q為真，則p與q有且只有一個(gè)為真．
若p為真，q為假，那么$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，則m＜1．
若p為假，q為真，那么 $\left\{{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m≥1}\end{array}}\right.$，則1≤m≤2．
綜上所述m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題的解法，恰當(dāng)?shù)膶⒑愠闪��?wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵，考查了推理能力，屬于中檔題．