Question

1．如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AB=AD，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若棱AP的中點(diǎn)為H，證明：HE∥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD得出PD⊥AC，由菱形性質(zhì)得出BD⊥AC，故而AC⊥平面PBD，于是得出平面PAC⊥平面PBD；
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接FH、FC．通過(guò)證明四邊形HFCE為平行四邊形得出HE∥CF，于是HE∥平面ABCD．

解答 證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，AB=AD
∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD．∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）取AD的中點(diǎn)F，連接FH、FC．
∵H，F(xiàn)是AP，AD的中點(diǎn)，
∴$FH\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}PD$，又∵$EC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}PD$，
∴$FH\underline{\underline{∥}}EC$，
∴四邊形HFCE為平行四邊形．
∴HE∥CF，又HE?平面ABCD，CF?平面ABCD
∴HE∥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，構(gòu)造平行線與垂線是證明關(guān)鍵，屬于中檔題．