Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，DE=2AB=2，且F是CD的中點．
（1）求證：平面ABF⊥平面CDE；
（2）設AC=2m，當m為何值時？使得平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°．

Answer 1

分析：（1）要證明平面ABF⊥平面CDE可利用面面垂直的判定定理即找其中一個平面的一條垂線即可而根據(jù)題中的條件CD即為面ABF的一條垂線故可得證．
（2）可根據(jù)AB⊥平面ACD，DE∥AB可得△ACD是△BCE的射影三角形然后利用射影三角形與二面角的關系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

就可得到關于m的關系式即可求出m的值．

解答：解：（1）∵AB⊥面ACD
∴AB⊥CD
又∵△ACD是正三角形且F是CD的中點
∴AF⊥CD
∵AB∩AF=A
∴CD⊥面ABF
∵CD⊆面CDE
∴平面ABF⊥平面CDE
（2）∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥面ACD
∴△ACD是△BCE的射影三角形
∵平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°
∴cos45°=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

∵AC=2m，DE=2AB=2

∴如圖連接CE，過B作BG∥AD
則由于AB⊥平面ACD，DE⊥面ACD則BC=

AC2+AB2

=

4m2+1

，CE=

CD2+DE2

=2

m2+1

，BE=

BG2+GE2

=

4m2+1

∴△BCE的高h=

BE2-( CE 2 )2

=

3

m
∴cos45°=

3 4 (2m)2

1 2 ×2 m2+1 × 3 m

∴2m²=m²+1
∴m=1即當m=1時平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為45°．

點評：本題主要考察面面垂直的證明和二面角的應用，屬較難題型．解題的關鍵是面面垂直的證明常選用面面垂直的判定定理來證明而對于第二問來說再利用射影三角形與二面角的關系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

之前得出△ACD是△BCE的射影三角形就顯得尤為重要了!