【題目】已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求證:f(x)是R上的單調減函數(shù).
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【答案】(1)詳見解析(2)-2
【解析】
(1)本題中,需要證明的是函數(shù)的增減性,則需要回歸定義,從定義出發(fā),根據(jù)增減性采用合適的拼湊法來進行證明
(2)抽象函數(shù)函數(shù)值的求法需要通過合理賦值求得,需要考慮函數(shù)的增減性。
(1)證明:設x1,x2是任意的兩個實數(shù),且x1<x2,
則x2-x1>0,因為x>0時,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,
又因為x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]
=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
所以f(x2)<f(x1).
所以f(x)是R上的單調減函數(shù).
(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù),
所以f(x)在[-3,3]上也是減函數(shù),
所以f(x)在[-3,3]上的最小值為f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制,已知所有這些學生的原始成績均分布在內,發(fā)布成績使用等級制,各等級劃分標準見下表.
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等級 | A | B | C | D |
規(guī)定:A,B,C三級為合格等級,D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況,從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計.
按照,
,
,
,
的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示,樣本中分數(shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示
求n和頻率分布直方圖中的x,y的值,并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率;
根據(jù)頻率分布直方圖,求成績的中位數(shù)
精確到
;
在選取的樣本中,從A,D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研,求至少有一名學生是A等級的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃訓練,每人投10次,投中的次數(shù)統(tǒng)計如下表:
學生 | 1號 | 2號 | 3號 | 4號 | 5號 |
甲班 | 6 | 5 | 7 | 9 | 8 |
乙班 | 4 | 8 | 9 | 7 | 7 |
(1)從統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,甲、乙兩個班哪個班成績更穩(wěn)定(用數(shù)字特征說明);
(2)在本次訓練中,從兩班中分別任選一個同學,比較兩人的投中次數(shù),求甲班同學投中次數(shù)高于乙班同學投中次數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,單位圓
上存在兩點
,滿足
均與
軸垂直,設
與
的面積之和記為
.
若
,求
的值;
若對任意的
,存在
,使得
成立,且實數(shù)
使得數(shù)列
為遞增數(shù)列,其中
求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2009四川卷文)設矩形的長為,寬為
,其比滿足
∶
=
,這種矩形給人以美感,稱為黃金矩形。黃金矩形常應用于工藝品設計中。下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本:
甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù),與標準值0.618比較,正確結論是
A. 甲批次的總體平均數(shù)與標準值更接近
B. 乙批次的總體平均數(shù)與標準值更接近
C. 兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度相同
D. 兩個批次總體平均數(shù)與標準值接近程度不能確定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例.得到如下餅圖:
則下面結論中不正確的是
A. 新農村建設后,種植收入減少
B. 新農村建設后,其他收入增加了一倍以上
C. 新農村建設后,養(yǎng)殖收入增加了一倍
D. 新農村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,
,D是AE的中點,C是線段BE上的一點,且
,
,將
沿AB折起使得二面角
是直二面角.
(l)求證:CD平面PAB;
(2)求直線PE與平面PCD所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理過程是演繹推理的是( )
A. 在數(shù)列|中,
由此歸納出
的通項公式
B. 由平面三角形的性質,推測空間四面體性質
C. 某校高二共有10個班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推測各班都超過50人
D. 兩條直線平行,同旁內角互補,如果和
是兩條平行直線的同旁內角,則
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