Question

已知函數f（x）=alnx-2ax+3
（1）若f′（-1）=4，求a的值；
（2）若a≠0，求函數f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），從而令f′（-1）=a（-1-2）=4；從而解得；
（2）a≠0時，先求定義域，再求導f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），從而討論導數的正負以確定函數的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
∴f′（-1）=a（-1-2）=4；
故a=-

4

3

；
（2）a≠0時，
f（x）=alnx-2ax+3的定義域為（0，+∞），
f′（x）=a

1

x

-2a=a（

1

x

-2），
當a＜0時，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

時，f′（x）＞0，

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0；
故函數f（x）的單調增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；
當a＞0時，

1

x

-2＜0，即x＞

1

2

時，f′（x）＜0；

1

x

-2＞0，即0＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0；
故函數f（x）的單調增區(qū)間（0，

1

2

）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的數學思想，屬于中檔題．